サラリーマンのすらすらIT日記

IT関連を中心とした日々を綴ります。
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2012/09/09

Hatcher「Algebraic Topology」を読んでいます

Hatcher- Algebraic Topologyの第4章"Homotopy Theory"を読んでいます。読んだところをまとめておきます。

命題4.1 covering space projection は同型写像 を誘導する(ただしn ≧ 2)。証明は第1章の命題からわかる。

(中略)

Whitehead's Theorem
定理4.5 連結なCW複体間の写像 がすべてのnに対して同型写像 を誘導するならば、f はホモトピー同値写像である。f が部分複体のinclusionならば、結論はさらに強いもので、すなわち X は Y の変位レトラクトである。
(証明は長いので省略)

Whitehead's Theoremが主張するのは、2つのCW複体X,Yが同型なホモトピー群を持つなら、ホモトピー同値である、というものではない。X,Yが同型なホモトピー群を持つことと、写像 がホモトピー群の同型写像であることとは、大きな違いがある。例えば、 がそうである。どちらも基本群を持ち、高次元ホモトピー群も同じだが、ホモロジー群が異なる。その辺りはまた後日。

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