サラリーマンのすらすらIT日記

IT関連を中心とした日々を綴ります。
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2012/09/22

Hatcher「AlgebraicTopology」を読んでいます-その6

Chapter4.1ではこの後、胞体近似定理、CW近似、例としてPostnikov Towers、Whitehead Towersが書かれていますが、次のChapter4.2「Elementary Methods of Calculation」を読みたかったので、斜め読みで4.1を終え、4.2に突入です。

まず初めにホモトピー群の切除について書かれています。ホモロジーでは切除同型が成り立つとトポロジーの初歩で習います。その時に「この切除同型はホモトピー群では成り立たない」といった記述を見たことがありました。確かにホモトピー群では切除"同型"ではありませんが、次の定理が成り立ちます。

Theorem 4.23
を部分複体のunionであるCW複体とし、は連結で空でないとする。もし、がm-連結、がn-連結()であれば、包含写像から誘導される写像
なら同型、なら全射である。

この証明は非常に長い。これからFreudenthalの懸垂定理として知られる、次のCorollaryが成り立ちます。

Corollary 4.24
懸垂写像は、の時に同型、の時に全射である。もっと一般に、Xが(n-1)-連結なCW複体なら、懸垂について上記が成り立つ。

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