サラリーマンのすらすらIT日記

IT関連を中心とした日々を綴ります。
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2012/11/04

一見、自明な定理−その3−ジョルダンの閉曲線定理

今回は、「ジョルダンの閉曲線定理」です。定理が主張する内容は、

平面上の単純閉曲線(自分自身と交わらない閉じた曲線)は、平面を2つの領域に分割する。


というもの。Wikipediaより図を引用します。下図でいうと、ブルーとピンクの2つに分割されるということ。



「当たり前じゃないか!」と言われる方も多いでしょう。私も思いました。ところが直感的に明らかなようでも、実際に数学的に証明するとなると難しいのがこの定理。単純閉曲線はいろんな形がありますから、それを全部検証しないと証明したことにはなりません。

トポロジーに出てくる"道"(path)は、線分[0,1]から平面への連続"写像"と定義します。"閉じた道"(閉曲線)であれば、連続写像fでf(0)=f(1)となるものと定義します。つまり"道"(曲線)とは写像であって、平面に書かれた"線"ではないのです。現代数学をやっていると"道"(曲線)とは"写像"という議論に慣れていますが、この定理で議論されるのは、平面上に書かれた"線"の方。今まで慣れてきた議論は使えないということになります。そう考えると、証明が難しいというのも少し納得します。

2005年、この定理の完全証明なるものが発表されたようです。直感的な議論を排した厳密な証明とのことで、しかも16人の数学者が14年かけて解決したらしい。また面白いのが、この証明をチェックしたのが、MIZARという人間の証明をチェックするコンピュータシステムという点。こちらにそのことが書かれています。

カミーユ・ジョルダンがこの定理を提起したのが、1887年。100年以上の歳月を経て解決されたということで、ポアンカレ予想にも匹敵する歳月の長さですが、このニュースは知りませんでした。やはり「一見、自明な定理」だとニュースとしての扱われ方も違うのでしょうか。

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