サラリーマンのすらすらIT日記

IT関連を中心とした日々を綴ります。
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2012/12/03

大数学者でも無謬ではない

引き続き「微積分名作ギャラリー」を読んでいます。19世紀の大数学者コーシーが極限の厳密な定義を規定したことで、解析学が大きな発展を遂げたのですが、さすがのコーシーでさえも今の視点から見れば厳密性を欠く部分があったようです。厳密な議論を始めた当時としては無理のないことです。

コーシーは関数の連続性の議論の中で、連続を今で言うところの"一様連続"と考えていたようです。ただ幸運だったのは有界閉区間での議論であったため、後にハイネ・ボレルの定理として証明されたことで問題がなかった(有界閉区間では連続なら一様連続)こと。このケースは結果的に問題がなかったわけですが、中には間違った議論になってしまった人もいました。

例えば19世紀にフェルマの最終定理を解くに当たり、虚数レベルの因数分解が一意的であるとして議論を進めて、"証明"に到達。しかし別の数学者に一意的ではないとの間違いを指摘され、あえなく失敗に終わったということもありました。これも抽象代数の研究が進んでいない時代の議論で、今では大学数学科の学部生でも知っている内容になっています。例えばではとなります。

また数学辞典には、球面のホモトピー群でPontrjaginが主張した(n≧3)が長い間信じられてきたが、後にであることが判明したということが紹介されています。

こうやってみると、大数学者でも間違いがあるんだということがわかります。もっとも我々レベルの間違いとは雲泥の差があるんでしょうけれど。

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