サラリーマンのすらすらIT日記

IT関連を中心とした日々を綴ります。
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2012/12/07

連続でなくても成り立つことがある中間値の定理

中間値の定理はこちらでも書いたように、連続関数が持つ"特性"のように思ってしまいます。確かに連続であれば成り立つ性質ですが、実は連続でなくても中間値の定理が成り立つ関数があると、「微積分名作ギャラリー」で紹介されています。こんな関数です。




(グラフはGoogleから引用しました。検索ボックスにcos(1/x)と入れるとグラフが表示されるとは知りませんでした)

この関数が原点で連続でないことは、多くの解析学の本に書かれてあるので省略しますが、「微積分名作ギャラリー」には、この関数が中間値の定理を満たすことが示されています。これは解析学の本にはあまり載っていません。簡単に証明を紹介します。

またはのときは、[a,b]上で連続なので、連続関数に対する中間値の定理が適用できます。問題はのとき。これは

なる自然数Nを取ると、
であり、xが
からまで動くとき、1/xの値はからになる。これによりcos(1/x)は連続的に
からに動く。連続関数の中間値の定理によりからの間に(つまりaとbの間に)cがあって、S(c)=rとなる。

こういう関数を考えてみると、一見自明に見える中間値の定理がれっきとした"定理"に思えてきます。

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