サラリーマンのすらすらIT日記

IT関連を中心とした日々を綴ります。
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2013/01/10

数学基礎論者に共通したこと

『「無限」に魅入られた天才数学者たち』を読み終えました。こんなに面白い数学関連の読み物は、「フェルマの最終定理」以来です。もっぱら通勤電車の中で読んでいましたが、毎日早く電車に乗りたくて仕方がなかったくらいでした。

本の前半はカントールが主役でしたが、後半はクルト・ゲーデルが主役。ゲーデルは言うまでもなく、あの「不完全性定理」を証明して、20世紀の多くの数学者を震撼させた人です。ゲーデルはカントールがチャレンジし続けた「連続体仮説」の証明に関心を持ち、この問題に取り組んだ結果、得た結論は「連続体仮説は選択公理を加えた集合論の公理系に矛盾しない」というもの。しかしこれは連続体仮説を証明したわけではなく、さらに「連続体仮説の否定も、選択公理を加えた集合論の公理系に矛盾しない」ことを示してこそ完結になります。しかしゲーデルは次第に精神が蝕まれ、最終ゴールまでたどり着くことができませんでした。その後、アメリカの若い数学者ポール・コーエンが「連続体仮説は集合論の公理系からは証明できない」つまり「連続体仮説が成り立つとしても、成り立たないとしても、集合論の公理からは何ら矛盾を生じない」という画期的な証明を提示して、一応の解決をみます。

上述したように、ゲーデルは晩年精神が蝕まれたわけですが、カントールもそうでした。そしてこの本の巻末の注には、精神病を患ったのはこの二人だけではなく、集合論の大家ツェルメロエミール・L・ポストという数学者も同じ病気を経験していると書かれています。数学基礎論は論理の根底をとことんまで突き詰める学問であるためか、人間の精神に計り知れないダメージを与えるのかもしれません。

ところでエミール・L・ポストという数学者、実は初めて聞いた名前なのですが、調べるとなんとチューリングと同様のコンピュータ科学者(コンピュータの理論を考案するという意味で、あえてコンピュータ技術者とは書きません)とのこと。チューリングと同時期にチューリングマシンの概念に到達したらしい。ポストは数学基礎論者にはよく知られた数学者のようですが、コンピュータ"技術者"にはチューリングが圧倒的に有名です。

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