サラリーマンのすらすらIT日記

IT関連を中心とした日々を綴ります。
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2013/01/26

補題いろいろ

数学では定理を証明するための補助的な定理を「補題」といいます。英語の「lemma」の訳語で、「補助命題」の略です。「○○の定理」と呼ばれるものは数多くありますが、「○○の補題」として知られているものもいくつかあります。いくつか挙げてみます。

1.ツォルンの補題

補題ではこれが一番有名でしょう。「任意の空でない帰納的順序集合は、極大元を持つ」というもの。あるQ&Aサイトに「そもそも何を証明するための補題なのでしょうか?」という質問がありました。確かに何でしょうね。今ではこれだけがポツンとある感じなのでよくわかりませんが、選択公理を証明するためだったのかもしれません(そのQ&Aサイトでもそのような回答がありました)。今ではツォルンの補題は選択公理と同値であることが証明されています。

2.5補題

これはfive lemmaと英語で呼ばれることが多い。代数トポロジー(ホモロジー代数)の教科書によく出てくるもので、下記の加群と準同型写像の可換図式で、横方向の準同型写像が完全系列で、縦の2,4が同型写像で、1が全射、5が単射ならば、3は同型写像になるというもの。



3.ウリゾーンの補題

Xが正規空間で、その閉集合F1,F2が共通点を持たない時、次を満たす実数値連続関数f:X→Rが存在するというもの。




私が知っているのはこれくらいです。名前を聞いたことはありますが、内容を知らない補題は、

・米田の補題(圏論)
・中山の補題(代数学)

あとWebで調べるとこんなものもありました。

・伊藤の補題
・Fatouの補題
・バーンサイドの補題
・反復補題
・逆行列補題
・ポンピング補題
・握手補題
・有界実補題

なぜこれらが"定理"ではなくて"補題"と呼ばれて知られているのか?不明です。

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