サラリーマンのすらすらIT日記

IT関連を中心とした日々を綴ります。
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2013/03/20

素数が無限個あるというユークリッドの証明に関連して

先日、「天書の証明」を図書館で借りてきました。改めて素数が無限個あるというユークリッドの証明を見て、気がついたことがあります。その前にまず、ユークリッドの証明を示しておきます。

素数が有限個だと仮定し、素数全体の有限集合P={p1,p2,...,pr}に対し、n=p1p2...pr+1という数を考えると、仮定によりnはPに属さない。したがってnは素因数を持ち、その素因数はPの元のいずれかである。しかし、nはどのPの元で割っても1余るので、Pのどの元よりも大きい素数ということになり、これは矛盾である。したがってPは素数全体の集合になり得ない。


この証明のエッセンスは素数の積にプラス1するところ。このアイディアがこの証明を成り立たせているわけで、アイディアの勝利です。古代ギリシャ数学のレベルの高さ(この時代に背理法があったことと、センスの良さ)を改めて感じます。

さて私が気づいたというのは、素数を小さい順p1,p2,...,prに並べた時の積に1を加えれば、それは素数ではないかという点。p1,p2,...,prのいずれで割っても1余るので、素数である可能性が高い(もっともこれらより大きい素数で割り切れるかもしれないが)。電車に揺られながら頭の中で暗算していくと、


2 → 2+1=3 これは素数!
3 → 2*3+1=7 これは素数!
5 → 2*3*5+1=31 これは素数!
7 → 2*3*5*7+1=211 これは素数!
11 → 2*3*5*7+11+1=2311 これは素数!



うーん、これは一大発見かなと思いました。これ以上は暗算では無理なので、家に帰ってLibre Office Calcで(家ではExcelは使わないから)計算させてみました。すると、

13 → 2*3*5*7*11*13+1=30031=59*509 これは素数ではない!


残念!これより先の数は未検証ですが、一大発見ならずでした。

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