サラリーマンのすらすらIT日記

IT関連を中心とした日々を綴ります。
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2013/03/21

素数が無限個ある証明−その2

昨日に続いて、「天書の証明」に紹介された「素数が無限個ある」という証明のその2です。フェルマ数を使います。

フェルマ数は、ピエール・ド・フェルマが素数ではないかと予想した式

Fn = 22n + 1 (n=0,1,2,...)



で、初めの6つを書き出してみると、

F0 = 3
F1 = 5
F2 = 17
F3 = 257
F4 = 65537
F5 = 4294967297



で確かに"素数っぽい"。しかしオイラーの指摘により、

F5 = 641*6700417



と素因数分解されることがわかり、あえなく予想は外れます。しかし、のちに正Fn角形はコンパスで書けることがわかり(正17角形はガウスが、それより先はガロア理論の応用で証明された)、さすがに天才の誤りは"単なる誤り"では終わらないと言えます。

問題の証明ですが、どの2つのフェルマ数も互いに素であることを示せば、素数は無限個あることになります。そのために漸化式

F0*F1*...*Fn-1 = Fn - 2

を示します。mをFkとFn (k < n)の約数とすると、上記の式よりmは2の約数でなければならない(つまりm=1または2)。しかしフェルマ数はすべて奇数なので、m=2はあり得ない。よってm=1だから、互いに素。

漸化式の証明は帰納法によります。n=1ならF0=3,F1=5だから成り立ちます。n-1まで成り立つとすると、

F0*F1*...*Fn = (Fn-2)Fn = (22n-1)*(22n+1) = (22n+1-1) = Fn+1 - 2

となるので、これで示されました。

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