サラリーマンのすらすらIT日記

IT関連を中心とした日々を綴ります。
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2013/03/25

素数が無限個ある証明−その3

「天書の証明」に紹介された「素数が無限個ある」証明のその3です。

素数が有限個と仮定し、pを最大の素数とする。メルセンヌ数2p - 1を考え、2p - 1のどんな素因数qもpより大きいことを示せばよい。

qを2p - 1を割る素数とすると、2p ≡ 1 (mod q)である。pは素数だから、2は乗法群 Zq - {0} の位数pの元である。つまり集合{1,2,22,23,...,2p-1}は、乗法群 Zq - {0}の部分群となる。乗法群 Zq - {0}はq-1個の元から成るので、これはすなわち p|(q-1)を示す。つまりp < q となり、pが最大の素数であることに矛盾する。ゆえに素数は有限個ではない。

今度はメルセンヌ数が出てきましたか...いろいろと証明はあるものです。次回は解析学を使った証明です。

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