サラリーマンのすらすらIT日記

IT関連を中心とした日々を綴ります。
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2013/03/31

数学者でない人の乱暴な数学の扱い

伊藤清氏の「確率論と私」の中に、「数学者の科学的側面と芸術的側面」と題するエッセーがあります。その中で氏は、「科学者は数学者が苦心して作り上げた厳密な理論をあまり顧慮しないで、相当乱暴に数学を扱う」と述べ、例として放射性元素の原子N個が時間と共に崩壊して減少していく状態を、



という微分方程式を立てて解く。これが数学者には我慢のならないものとされています。確かに連続でない量(原子の個数)をあたかも連続であるかのように扱うのは、抵抗があります。私でさえもこれを最初に見た時は「ん?」と思ったものです。氏はこの後、確率論を用いて数学者にも許される論理を展開されています。確率論に疎い私にはあまりついていけませんが。

「ん?」と思ってしまう考え方として、変数分離型微分方程式の解法があります。



という微分方程式があった時、左辺は"分数"ではないのに(確か高校数学でも、これは分数ではないと習ったはず)、あたかも分数であるかのようにして、



と変形して、平気で解いてしまいます。結果は正しいのですが、この論理展開には私も「ん?」でした。

私が気がつかなかったものもあります。高校時代、指数関数を習った時に、2の0乗は1、2の1乗は2、2の2乗は4、2の3乗は8として、平気で



というグラフを書いていました。確かにこのように習います。この問題点は、指数関数を整数のべき乗でしか定義していないのに、あたかも連続であるかのように、線でつないでしまっていること。本来であれば、整数べきしか定義していないので、



という孤立した点だけのグラフしか書けないはずです。これをつながった線のように書くには、関数の連続性や実数の完備性といった議論が必要ですが、高校数学としてはレベルが高いということで、議論なしで線をつないでいます。

直感的な数学しか学んでいない科学者にとっては、点を線にすることに乱暴さを感じないでしょう。しかし現代数学を一度でも学ぶと、乱暴な議論と感じてしまうものです。

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