サラリーマンのすらすらIT日記

IT関連を中心とした日々を綴ります。
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2013/04/24

素数が無限個ある証明−その4-3

昨日の続き、この位相について開集合の合併が開集合であることを示します。本には「明らか」と書いてあったのですが、数学の証明を追うことに長年遠ざかっていたので、ピンときませんでした。備忘録のために丁寧に書いておきます。


に対し、

を取ると、あるに対してであるから、

で、

となり、開集合の合併が開集合であることがわかります。

以上で、位相の公理を満たすことがわかりました。

この位相を持つは、次の性質を持ちます。

1.空でないすべての開集合は無限集合である。
2.は開集合である。
3.は閉集合である。

1は、開集合の定義より、空でない任意の開集合は、無限集合を含むので、無限集合であることからわかります。

2は、例えばを考え、任意の元の例として4を取ると、となります。他の元でも同様の議論で、開集合であることがわかります。

3は、例えば

より、であるから、一般には

となる。前項より開集合の補集合であることから、閉集合であることがわかります。

次回はこの証明の最終回、これまで述べた性質から素数が無限個あることを証明します。

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