サラリーマンのすらすらIT日記

IT関連を中心とした日々を綴ります。
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2013/04/25

素数が無限個ある証明−その4-4

位相空間論を用いた、素数が無限個あることの証明の最終回です。

pを素数とし、を考えます。を素数全体の集合とし、集合



を考えると、この集合に含まれないの元は、-1と1だけ。つまり、



となります。もし、が有限集合だと仮定すると、昨日の結果より右辺は閉集合の有限個の和集合であるから閉集合。ということは、は開集合であるが、これは昨日の結果である「すべての開集合は無限集合である」に反します。よっては無限集合ということになり、証明ができました。

面白い証明だと思います。

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