サラリーマンのすらすらIT日記

IT関連を中心とした日々を綴ります。
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2013/05/01

「リッカチのひ・み・つ」を借りてきました

先日紹介しました「リッカチのひ・み・つ」がどうしても読みたくなったので、図書館で借りてきました。第1章を読んでいくと、この本の目的がわかってきました。うまい導入方法だと思います。

まず非常に簡単な微分方程式

 (1)

を考えると、この方程式の解は



となります。ここで図は積分定数。つまりx(t)が解ならば、x'(t)=x(t)+c(cも定数)も解であるから、2つの解の差は定数です。これを「2つの解の差は微分方程式(1)の不変量」と呼びます。

次に変数分離型と言われる微分方程式

 (2)

を考えます。x=0はこの微分方程式の解。x≠0とすると、上式は



となるので、両辺をtで積分して、



したがって



ここで とおいています。x(t)が(2)の解ならば、y(t)=r・x(t)(rは定数)も解。つまり「2つの解の比は微分方程式(2)の不変量」と言えます。

同様の議論を、1階線型常微分方程式、リッカチ方程式にも適用すると、それぞれ不変量がわかり、リッカチ方程式の場合は、複比が不変量となると説明されています。複比というと複素関数論や双曲幾何で出てくるもので、微分方程式に疎い私には、微分方程式に複比が出てくるとは驚きです。しかしとてもわかりやすい説明です。

このまま先を読んでいってもいいのですが、ちょっと微分方程式の基礎を確実にしておこうということで、別のやさしい本を借りてきました。



この本の例題をやってみて、計算の仕方を思い出しておきます。

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