サラリーマンのすらすらIT日記

IT関連を中心とした日々を綴ります。
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2013/06/13

「解いてわかるガロア理論」を読んでいます-その1

昨日借りてきた「解いてわかるガロア理論」を読んでいます。予備知識はあるつもりなので、いきなり第6章「体論とガロア理論」からの読み始めです。

問題54に「以下のf(x)に対する分解体を求めよ。また、各分解体のQに対する次元を求めよ。また、fのガロア群Gal(f)も求めよ。」があり、f(x)=x2-2が挙げられています。以前読んだ「ガロア 偉大なる曖昧さの理論」によると、R上の2次多項式f(x)のガロア群は、

(i)2次方程式f(x)=0の2根がともに実根の場合は、ガロア群は自明(つまり{e})
(ii)2次方程式f(x)=0の2根がともに虚根の場合は、ガロア群は位数2の群


とありました。ところが今回の問題だと体Q上の話なので、拙い私の直感でもガロア群は自明ではないと思いました。実際、f(x)=x2-2の分解体はQ(√2)で、Qに対する次元は2、ガロア群は{e,σ}(ここでσ(a+b√2)=a-b√2)です。

ということはどの体の上で考えるかによって、ガロア群が異なるということです。「おいおい!そんなこと今ごろ気がついたのか!数学専攻じゃなかったのか?」と言われそうですが、実感としてガロア理論がわかっていたとは思わないので、確かに今ごろになってわかったようです。そういえば学生時代に多項式のガロア群を実際に計算したという記憶があまりありません。尤も、多項式のガロア群の計算は一般に難しく、特に5次以上の代数的に解けないものについては特別難しい。

この本ではこの議論の前に、√2が無理数であることの証明が紹介されています。普通のガロア理論の本では高校数学で済ませたこととして省略されていることが多いのですが、この本はself-contained。ガロア理論に必要な事項は、それまでに説明されているので親切です。

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