サラリーマンのすらすらIT日記

IT関連を中心とした日々を綴ります。
--/--/--

スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
2013/07/09

「ガロワ理論(下)」を読んでいます

「ガロワ理論(下)」を借りて、このところ毎日通勤電車で読んでいます。第9章「円分拡大」は斜め読みでしたが、第10章「作図」はゆっくりと読んでいます。ガロワ理論の応用として、作図問題は必ず取り上げられますが、この本ほど丁寧に説明されたものを見たことがありません。

作図問題というのは古代ギリシャに遡る問題で、「定規とコンパスだけで図が描けるか?」というもの。有名な例では「角の3等分」、「立方体倍積」、「円の正方化」があります。いずれもガロワ理論の応用で、否定的に解決されていますが(つまり不可能であるということ)、古代ギリシャの数学では解決できなかったものです。

この本では「定規とコンパスによる作図」の定義から始まり、簡単な例を挙げながら作図できる図形を拡張していきます。作図の定義はガロワ理論のどんな本にも載っていますが、その後に具体例が乏しいため、論理展開を追うのが結構大変。この本では

C1:2点α,β(α≠β)があるとき、αとβを通る直線Lを引くことができる
C2:2点α,β(α≠β)と点γがあるとき、γを中心とし、半径がαとβの距離に等しい円を描くことができる

という作図(Construct)の定義と、

P1:上で作図した異なる直線L1とL2と交点
P2:上で作図した直線Lと円Cの交点
P3:上で作図した円C1とC2の交点

という点(Point)を得る定義がなされます。平面を複素数体とみなし(つまり複素数平面)、平面上の2点0,1から作図を始め、C1,C2,P1,P2,P3を有限回使って複素数αが得られるとき、複素数αは作図可能と定義します。

この後は簡単な例、0と1からC1を使ってx軸を得、C2を使って1を中心とする半径1の円を得て、この円がx軸と2点0,2で交わることから(P2を使う)、2は作図可能。同様の議論を続けて、すべての整数は作図可能となります。

次の例は、簡単な幾何の原理でy軸を描き、上記と同様の議論で虚数単位iは作図可能であることを導きます。以下徐々に複雑な図形に移っていき、作図可能な部分体を構成します。この議論を進めて、「角の3等分」、「立方体倍積」、「円の正方化」が不可能であることを示しています。これは非常にわかりやすいと思います。

この本、もうすぐ返却期限なのが残念ですが、それまでピッチを上げて読んでおきます。

スポンサーサイト

コメント

コメントの投稿

  • URL
  • コメント
  • パスワード
  • 秘密
  • 管理者にだけ表示を許可する

トラックバック

トラックバックURL:http://sookibizviz.blog81.fc2.com/tb.php/1616-1fbc4fa1

■  カレンダー

07 | 2017/08 | 09
- - 1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31 - -

■  プロフィール

sookibizviz

Author:sookibizviz
仕事の内容やソフトの紹介を交えながら、日々の悪戦苦闘を綴っていきます。

■  最新記事

■  最新コメント

■  最新トラックバック

■  月別アーカイブ

■  カテゴリ

未分類 (64)
BizViz (24)
IT (1119)
計量 (76)
環境 (26)
数学 (181)
ニュース (46)
本 (187)
音楽 (113)
囲碁 (5)
将棋 (26)
ブログ (14)
日記 (19)

■  FC2カウンター

■  検索フォーム

■  RSSリンクの表示

■  QRコード

QRコード
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。