サラリーマンのすらすらIT日記

IT関連を中心とした日々を綴ります。
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2013/12/08

9-lemmaを証明してみました

昨日時間があったので9-lemmaをdiagram chasingでノートに書いて証明してみました。こういう作業は懐かしいものです。

肩慣らしを兼ねて、手始めに5-lemmaをdiagram chasingでやってみました。学生時代ほど手際よくはありませんが、できました。この作業は意外と単純です。ゴールはわかっているし、やることは決まっているから。次いで9-lemmaに。これは学生時代には知らなかったlemmaなので、やるのは初めて。しかしすぐにできました。

一つ疑問に思ったのが、3つ目のstatement。再度書いておくと、

3.第1行と第3行が完全で、かつ第2行の隣り合う2つの写像の合成が零写像なら、第2行も完全



つまりIm(A2 → B2) ⊂ Ker(B2 → C2)を仮定するわけですが、なぜこの条件がないといけないのか?縦の3列と第1行、第3行の完全性を使って証明できるかどうかやってみました。

結果はダメでした。第2行は真ん中なので、Im(A2 → B2)の元を取って、次に進もうとしてもどこにも進めない。これが第1行であれば、縦列の完全性より写像A1 → A2が単射なので次の議論に進めるし、第3行なら今度は全射性があるのでやはり先に進めます。ところが第2行だと何の条件もないと全く進めません。ということでこの条件が必要というわけです。

次はヘビの図式を使って9-lemmaを証明することです。これは次の機会に。

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