サラリーマンのすらすらIT日記

IT関連を中心とした日々を綴ります。
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2014/04/26

次はベクトル場

接ベクトルの次は、ベクトル場です。「多様体入門」のIIの§11「ベクトル場と微分作用素」によると、ベクトル場とは「多様体Mの各点pに対し、pにおける接ベクトルXpを対応させる対応X:p→Xpのことを、M上のベクトル場という」とのこと。また"対応"です。数学辞典にも"対応"と書かれています。

数学辞典の「ベクトル」の項には、高校で習う定義も紹介されています。こちらはユークリッド空間上で定義される直感的なもので、そこには「ベクトル場とは、3次元ユークリッド空間内のある集合D上で定義されたベクトル値関数」とあります。"対応"ではなくて"関数"です。これは接ベクトルとは違って、"ベクトル場"という言葉で想像するものと、実際の定義が近いと思います。

しばらく読み進めると、例の「リー環」が出てきます(「多様体入門」では"リイ環"と書かれています)。次はリー環について書きます。

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